درسنامه آموزشی فصل سوم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی
درس 2: حد در بینهایت
در درس قبل حدهای نامتناهی و مجانبهای قائم یک منحنی را بررسی کردیم در آنجا مشاهده کردیم که با نزدیک شدن $x$ به چه عددی $f(x)$ به دلخواه بزرگتر میشود.
در این درس بررسی میکنیم که با دلخواه بزرگ شدن (نزدیک شدن) $x$ مقادیر $f(x)$ چه تغییری میکند؟ این مطلب در رسم نمودارها و برای بررسی رفتار شاخههای نمودار تابع بسیار مفید است.
فعالیت (صفحه 59 تا 60 کتاب درسی)
نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را در بازه $(0, + \infty )$ در نظر بگیرید.
1) جدول زیر را کامل کنید.
| ${10^6}$ | ${10^5}$ | ${10^3}$ | 100 | 10 | 5 | 2 | 1 | $x$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | $f(x)$ |
2) اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{5}$ کمتر شود $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگتر بگیریم؟
3) اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{10}$ کمتر شود $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگتر در نظر بگیریم؟
4) اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها از $\frac{1}{100}$ کوچکتر شود $x$ را باید حداقل از چه عددی بزرگتر در نظر بگیریم؟
5) آیا فاصله $f(x)$ تا محور $x$ها را میتوان به هر میزان دلخواه کاهش داد؟
با توجه به نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ و جدول فعالیت بالا میتوان مشاهده کرد در صورتی که $x$ به اندازهٔ کافی بزرگ اختیار شود میتوان $f(x)$ را به اندازهٔ دلخواه به صفر نزدیک کرد. در این صورت میگوییم حد $f(x)$ وقتی $x$ به سمت مثبت بینهایت میل کند برابر صفر است و مینویسیم. $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0$
کاردرکلاس (صفحه 60 کتاب درسی)
نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ را در بازه $( - \infty ,0)$ در نظر بگیرید.
1) جدول زیر را کامل کنید.
| ... | $ - {10^4}$ | $ - {10^3}$ | 100- | 10- | 5- | 2- | 1- | $x$ |
| ... | $f(x)$ |
2) اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ از محور $x$ها کمتر از $\frac{1}{3}$ شود، $x$ را باید از چه عددی کوچکتر در نظر بگیریم؟
3) اگر بخواهیم فاصله $f(x)$ از محور $x$ها از $\frac{1}{{{{10}^6}}}$ کمتر شود. $x$ را باید از چه عددی کوچکتر در نظر بگیریم؟
با توجه به نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ و جدول بالا میتوان مشاهده کرد اگر $x$ به اندازه کافی کوچکتر (یعنی از هر عدد منفی کوچکتر) شود آنگاه $f(x)$ را میتوان به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد. در این صورت مینویسیم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0$
تذکر: منظور از $x \to \pm \infty $ آن است که $x \to + \infty $ یا $x \to - \infty $ لذا با توجه به فعالیت و کار در کلاس بالا بهطور خلاصه میتوان نوشت:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{x} = 0$
کاردرکلاس (صفحه 61 کتاب درسی)
با استفاده از نمودارهای $f$ و $g$ حدهای زیر را بهدست آورید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$
قضیه 6: اگر $a$ عددی حقیقی و $n$ عددی طبیعی باشد آنگاه:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{a}{{{x^n}}} = 0$
مثال: حاصل هر یک از حدود $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2}}}$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 5}}{{2{x^3}}}$ برابر صفر است.
قضیه 7: اگر ${L_1}$ و ${L_2}$ اعداد حقیقی و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {L_1}$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_2}$ آنگاه:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f \pm g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_1} \pm {L_2}$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f.g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_1}{L_2}$ (ب
(با فرض ${L_2} \ne 0$) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)}} = \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}$ (پ
تذکر: قضیه فوق وقتی $x$ به سمت $ - \infty $ میل میکند نیز برقرار است.
مثال: حدود زیر را محاسبه کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{5}{{{x^3}}})$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{x} + 4}}$ (ب
حل:
الف) با استفاده از قسمت الف قضیه 7 و سپس استفاده از قضیه 6 میتوان نوشت:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{5}{{{x^3}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{{x^3}}} = 3 + 0 = 3$
ب) با استفاده از قسمت (پ) قضیه 7 و سپس استفاده از قضیه 6 میتوان نوشت:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{x} + 4}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 4}} = \frac{{2 + 0}}{{0 + 4}} = \frac{1}{2}$
حدهای نامتناهی در بینهایت
در محاسبه حد توابع وقتی $x$ به $ + \infty $ میل میکند. ممکن است، با بزرگ شدن مقادیر $x$ مقدارهای $f(x)$ به عدد خاصی نزدیک نشوند ولی مقادیر $f(x)$ از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند همانطور که در نمودار توابع $f(x) = x$ و $g(x) = {x^2}$ در شکل زیر دیده میشود با افزایش مقادیر $x$ مقادیر $f(x)$ و $g(x)$ از هر عدد دلخواه مثبتی بزرگتر میشود.
همچنین با کوچک شدن مقادیر $x$، مقادیر $f(x)$ از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر میشود. در نمودارهای بالا میتوان مشاهده کرد که با کاهش مقادیر $x$ مقادیر $f(x)$ از هر عدد منفی دلخواه کوچکتر و مقادیر $g(x)$ از هر عدد دلخواهی بزرگتر میشود.
در حالت کلی برای یک تابع $f$ که در یک بازه $(a, + \infty )$ تعریف شده است اگر با میل کردن $x$ به سمت $ + \infty $، $f(x)$ نیز به سمت $ + \infty $ میل کند میگوییم حد این تابع در $ + \infty $ برابر $ + \infty $ است و مینویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $.
برای مثال $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^2} = + \infty $
همچنین اگر با میل کردن $x$ به سمت $ + \infty $، $f(x)$ به سمت $ - \infty $ میل کند میگوییم حد این تابع در $ + \infty $ برابر $ - \infty $ است و مینویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty $ به عنوان مثال $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - {x^2} = - \infty $
کاردرکلاس (صفحه 64 کتاب درسی)
1) مفاهیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ را بیان کنید.
2) با توجه به نمودار توابع $y = x$ و $y = {x^2}$ حدود زیر را مشخص کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2} = $
فعالیت (صفحه 64 کتاب درسی)
تابع $f(x) = {x^3}$ را با نمودار زیر در نظر بگیرید.
1) جدول زیر را کامل کنید.
| $ \to ...$ | ${10^6}$ | 1000 | 100 | 10 | 1 | 1- | 100- | 1000- | $ - {10^6}$ | $... \leftarrow $ | $x$ |
| $ \to ...$ | ... | ... | ... | 1000 | 1 | ... | $ - {10^6}$ | ... | ... | $... \leftarrow $ | $f(x)$ |
2) با افزایش (کاهش)$x$، مقدار $f(x)$ چه تغییری میکند؟
3) در مورد حدهای $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}$ چه میتوان گفت؟
قضیه 8: اگر $n$ عددی طبیعی باسد آنگاه
الف) اگر $n$ زوج باشد: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty $
ب) اگر $n$ فرد باشد: $\left. \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \hfill \\
\end{gathered} \right\}$
قضیه 9: اگر $l$ عددی حقیقی (ناصفر) و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = l$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty $ آنگاه
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty $ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x).g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \left\{ \begin{gathered}
+ \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + l \hfill \\
- \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - l \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (ب
تذکر: قضیه 9 در حالتی که $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - \infty $ نیز به طریق مشابه برقرار است.
قضیه 10: اگر $l$ عددی حقیقی (ناصفر) و $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = l$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty $ آنگاه.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f(x).g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = \left\{ \begin{gathered}
+ \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + l \hfill \\
- \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - l \hfill \\
\end{gathered} \right.$
تذکر: قضیه 10 در حالتی که $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty $ نیز به طریق مشابه برقرار است.
مثال: حدود زیر را محاسبه کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - 2{x^3} + x - 1)$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 - 2x - 5{x^4})$ (ب
حل:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2{x^3} + x - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}( - 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - 2{x^3} = + \infty $ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 - 2x - 5{x^4}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}(\frac{3}{{{x^4}}} - \frac{1}{{{x^3}}} - 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - 5{x^4} = - \infty $ (ب
کاردرکلاس (صفحه 66 کتاب درسی)
1) الف) اگر $f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ و $g(x) = {b_m}{x^m} + {b_{m - 1}}{x^{m - 1}} + ... + {b_1}x + {b_0}$ دو چند جملهای باشند نشان دهید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \lim \frac{{{a_n}}}{{{b_m}}}{x^{n - m}}$
2) در هر یک از حالتهای $m \gt n$ و $m \lt n$ و $m = n$ حد قسمت قبل به چه صورتهایی نوشته میشود؟
3) به کمک نتیجه قسمت قبل حدهای زیر را محاسبه کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3{x^3} - 7x + 1}}{{2{x^2} - x + 3}}$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 3{x^3} + x - 1}}{{6{x^3} - 2x + 1}}$ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{4{x^3} + 2x - 1}}$ (پ
مجانب افقی
به عنوان مثال در هر یک از شکلهای زیر خط $y = 1$ مجانب افقی نمودارها است. چرا؟
مثال: مجانبهای افقی و قائم تابع $f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ را بهدست آورید.
حل: برای یافتن مجانب افقی کافی است حد تابع را در $ \pm \infty $ حساب کنیم داریم:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2$
پس خط $y = 2$ مجانب افقی تابع است.
این تابع دارای مجانب قائم نیز میباشد و خط $x = - 1$ مجانب قائم تابع است زیرا:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty $
نمودار تابع به صورت زیر است.
کاردرکلاس (صفحه 68 کتاب درسی)
1) در کدام یک از توابع زیر، خط $y = 2$ مجانب افقی تابع است؟
2) مجانبهای افقی و قائم تابعهای زیر را در صورت وجود به دست آورید.
$f(x) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 1}}$ (الف
$g(x) = {x^3}$ (ب
$h(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}$ (پ
تمرین (صفحه 69 کتاب درسی)
1) مفهوم هر یک از گزارههای زیر را بیان کنید.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 2$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 4$ (ب
2) برای تابع $f$ که نمودار آن داده شده است موارد زیر را بهدست آورید:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = $ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = $ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = $ (پ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = $ (ت
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = $ (ث
مجانبهای افقی و قائم (ج
3) حاصل حدود زیر را بهدست آورید:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 5}}{{x - 2}}$ (الف
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{t^2} + 1}}{{{t^3} - 2{t^2} + 1}}$ (ب
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - {x^2} + 2x}}{{4x + 1}}$ (پ
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} - 2{x^2})$ (ت
4) مجانبهای افقی و قائم نمودارهای هر یک از توابع زیر را در صورت وجود بهدست آورید:
$y = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}$ (الف
$y = \frac{x}{{{x^2} - 4}}$ (ب
$y = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}$ (پ
$y = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}$ (ت
5) نمودار تابع $f$ را بهگونهای رسم کنید که همه شرایط زیر را دارا باشد:
الف) $f(1) = f( - 2) = 0$
ب) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = - \infty \,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = + \infty $
پ) خط $y = - 1$ مجانب افقی آن باشد.